Родился в 1887 году. Его отец занимал достаточно высокий пост в первом департаменте Министерства юстиции и прочил сыну карьеру юриста. В 1905 году поступил на юридический факультет Императорского Санкт-Петербургского университета, где проучился всего два года. В 1907 году вновь поступил в Университет, но уже на историко-филологический факультет, на отделение классической филологии. За два года учебы на юридическом факультете, Константин понял, что история языков и целые судьбы цивилизаций, стоящие за ними, ему интереснее, чем узкий смысл терминов на латыни и греческом, коими изобилует юридическая наука. Сразу же после окончания университета занял позицию на кафедре классической филологии, начав работу над диссертацией. Жениться он не спешил, планируя наслаждаться жизнью и заниматься наукой.
В 1920 уехал вместе с кузиной Ангелиной в Баку вслед за поэтом и философом Вячеславом Ивановым, где занял младшую преподавательскую позицию в Бакинском университете, кафедру классической филологии которого занял Иванов. Параллельно с преподаванием, занимался наукой с Ивановым, продолжая готовить к защите свою диссертацию. В 1921 женился на преподавательнице французского языка француженке Женевьев Коте. Постепенно потерял связь с родственниками, оставшимися в России.
До конца Гражданской войны Константин еще надеялся, что, возможно, в стране что-то вновь изменится, но предпочитал смотреть на это все издалека. К 1923 году от этих надежд не осталось практически ничего. В 1924 году Иванов уехал в Италию, куда Судоплатов поехать никак не мог, и в начале 1925 года вместе с Женевьев они бросают Баку и переезжают в Париж. Там ему ничего не оставалось, как подать заявку на преподавание в Парижский университет. Несмотря на его заслуги в классической филологии, преподаватели латыни и греческого университету не были нужны, однако была открыта позиция профессора славистики, которую Константин и занял в 1925.
В 1934 получил предложение возглавить кафедру классической филологии в Московском университете.